近日，我院祝雪丰教授课题组与纽约城市大学的Andrea Alù课题组合作，在声轨道拓扑边界态及相变方面取得了重要进展。他们在声学系统中揭示了声谐振腔多轨道模式的耦合机制与能带对偶性等，并以一维zigzag声学谐振腔链为例，从理论和实验上论证了轨道依赖的拓扑边界态和异于传统SSH阵列的反直觉新颖边界态及拓扑相变。相关工作以“Orbital topological edge states and phase transitions in one-dimensional acoustic resonator chains”为题，于2023年12月9日发表于《Nature Communications》上。我院博士研究生高峰和向霄为论文的第一作者，祝雪丰教授、彭玉桂副教授以及纽约城市大学的Andrea Alù教授为论文的通讯作者。华中科技大学为该工作的第一完成单位。我院硕士研究生孙琪理，中南大学倪祥教授及纽约城市大学Simon Yves博士后对该工作提供了重要帮助。武汉大学余睿教授对该工作提出了很多建设性的意见。

近年来，拓扑系统由于具有免疫结构缺陷，无背向散射等特点，在激光器，传感器，能量捕获等应用上展现出新的应用前景。同时，拓扑物态得益于对称性保护的特点，在冷原子，电路，光学，声学等多种领域得到了学术界及工业界的广泛关注。目前很多拓扑现象是类比量子霍尔效应和量子(谷)自旋霍尔效应。除了赝(谷)自旋，其它自由度如频率维度、轨道角动量、空间参数合成维度等的引入，也给拓扑物态研究注入新活力。此外，原子体系的另一个自由度轨道模式，在关联电子体系和固态材料中至关重要，产生了许多独特的拓扑相如轨道超流体和拓扑半金属等。轨道模式研究已逐步扩展到拓扑光子学领域，但在拓扑声学领域还比较少见。相比于利用单轨道自由度的声谐振腔体系的研究，基于简并且正交双轨道模式的声谐振腔体系来探索新颖拓扑态时将因其蕴含多轨道复杂相互作用与轨道模式选择性及能带对偶性而具有明显优势。通过引入轨道模式，不仅可以为常规拓扑体系提供一个额外的自由度，而且为研制频率轨道模式双自由度功能器件提供了很好的平台。

在该项工作中，研究团队类比量子力学中具有高度对称性的离散能带（如1重s带和3重简并p带）的氢原子，讨论了不同几何外形的声学谐振腔中的轨道模式分布及离散能级。设计出了具备简并正交p轨道模式的碟状声谐振腔并将其用于研究一维zigzag声学晶格中轨道依赖的拓扑物相。此外，研究团队建立并实验验证了声谐振腔间的多轨道模式相互作用的机制。（图1）

图1.声二聚体谐振腔单元的轨道相互作用。a不同轨道的示意图。b三个不同外形的声学谐振腔及其相关的离散能级。c-f数值计算的二聚体单元的四种不同本征模态的示意图和声压力场分布。g样品图,星号和方框分别表示轨道模式激发和测量的位置。h不同轨道源激励下测量的透射频谱。

下一步，研究团队将二聚体谐振腔单元阵列成具有键合角且耦合波导统一的一维zigzag声谐振腔链(图2a）。在该系统中，对于p_x或p_y轨道，声波耦合强度会沿谐振腔链轨迹交变更替，且每个轨道子空间对应于一个传统SSH模型，因此这里的晶格模型被定义为轨道依赖的SSH模型。此外，该系统中存在与键合角取值紧密相关的拓扑相变(图2c），且蕴含对偶性，比如由杂化键角为θ和2θc-θ构建的任何轨道晶格，都具有相同的能谱。

图2.可诱导拓扑边界态的轨道SSH模型。a轨道SSH模型。b不同键合角度下的周期性原胞的能带结构。c有限阵列的能谱，中心区域的黑色粗线代表存在的拓扑轨道边界态。dθ_c=90°时的边界模式。

为实验验证声学系统中轨道依赖的拓扑边界态，研究团队通过金属加工制备了图3a展示的实验样品。在左右边界的谐振腔中用轨道源进行了四次独立测量，其中轨道源根据模式耦合方向与激发边界定义为L_p_x、L_p_y、R_p_x和(R_p_y)（图3a）。测得的压力幅值响应显示（图3b），L_p_x(R_p_y)轨道源激发的左(右)端测得的振幅谱在带隙中5101 Hz处存在一个突出峰值，而L_p_y(R_p_x)激发测得的振幅谱，峰值消失，并结合不同轨道源激励下测的场图分布（图3c和图3d），证明了轨道依赖的拓扑边界态。

图3.轨道依赖的拓扑边界态。a样品。b左:由11个谐振腔构建的有限声学晶格的本征值分布和拓扑边界态的仿真结果。中间:L_p_x和L_p_y激励下测的左边界谐振腔的振幅谱。右:R_p_x和R_p_y激励下测量的右边界谐振腔的振幅谱。c、d(a)和(b)中四种不同激励下测量的场分布。

进一步地，研究团队研究了轨道依赖的边界态的拓扑保护性。他们设计了图4a所示的具备[70°，110°]范围内随机选取的无序键合角的谐振腔链，并计算了50组随机情况的能谱（图4c），证明了边界态对键合角无序的鲁棒性。通过制备的一个具有无序键合角的非周期样品（图4b），实验测得不同轨道源激励下的压力幅值响应（图4d）,轨道边界态依然保持在带隙中对应频率，阐明其拓扑鲁棒性。

图4.轨道依赖的拓扑绝缘体的鲁棒性。a非周期轨道晶格的示意图。b样品。c随机选择的50种不同键角非周期晶格的能谱。d不同轨道激励下测量的响应谱。

更重要的是，为了可视化轨道SSH模型中的拓扑相变，研究团队通过改变耦合波导管的直径以进一步二聚化轨道耦合幅度（图5a）。直观上，在最左边和最右边的谐振器，用不同的耦合管(d₂<d₁=0.6cm)来分别强耦合和弱耦合到谐振腔链。与传统SSH模型中产生的保持在最右腔体上的边界态不同的是，在该轨道SSH链出现拓扑相变。在键合角θ=90°时，d₂在0.1cm ~ 0.4cm内变化，p_x模式边界态展现出了从右端隧穿到左端的新颖现象，相变点出现在d₂=0.25cm处，这种相变在θ=180°时对应的传统方案中无法同样获得（图5a）。研究者们通过3D打印的辅助管，把图3a中具备统一耦合波导的样品改装成图5b中波导不再一致的样品（d₂= 0.4cm）。并在实验上测得了反直觉轨道边界态（图5c）。

图5.轨道SSH模型中的拓扑相变和新颖边界态。a上图:耦合波导不再统一的轨道SSH模型示意图，下图：轨道SSH模型和传统SSH模型在d₂变化时的能谱。b样品图。c对边界模式激发捕获的声压场分布。

研究团队在声离散系统中提出了谐振腔多轨道模式相互作用的机制，并通过实验实现了轨道依赖的拓扑绝缘体。同时揭示了该系统中的能带对偶性与拓扑相变，并验证了源激发方向和轨道依赖边界态之间的紧密对应关系。此外，还证实了轨道SSH晶格对键合角无序的强大拓扑保护性，观测到了强耦合边界处反直觉拓扑边界态。该工作将单轨道自由度拓扑绝缘体扩展到多自由度领域，为探索轨道相关拓扑物理和各种功能器件提供了一条新途径。

论文链接：https://doi.org/10.1038/s41467-023-44042-z